게임제작기법연구 1주차

실수 집합과 체의 성질

· 자연수의 집합 N : Natural numbers
· 정수의 집합 Z : ganze Zahl(정수)…정수는 본래 영어로는 Interger이나 I를 쓰는 것들이 많으므로 헷갈리지 않도록 독일어에서 따온 것

· 실수의 집합 R : Real number
· 유리수의 집합 Q : Quotient(몫, 상(商))…본래는 rational number의 앞글자를 써야 하나 실수 real number와 헷갈리지 않도록 Quotient를 쓰는 것이다.

· 무리수 I : irrational number
· 복소수의 집합 C : Complex number

 

무한대는 실수 집합에 속해있지 않다.

이유 : 무한대는 개념이지 수가 아니다. !!But 컴퓨터에는 속해있다.(컴퓨터의 실수 집합 = float, double)

 

덧셈을 했을 때 어떤 결과가 그 집합에 항상 소속된다. = 닫혀있다  ex) 1+3=4

 

닫혀있다 = 어떠한 수의 집합에서 연산을 했을 경우 그 결과값이 다시 그 집합에 속할 경우
엄밀히 말하면 곱셈과 덧셈 2가지만 닫혀있고 역원이 존재한다.
역원이 있다는 얘기는 항등원이 있다는 뜻이다.

 

N = +, x
Z = +, -, x
R = +, -, x, %
Q = +, -, x, % (가장 작은 집합)
C = +, -, x, %

 

사칙연산에 대해서 닫혀있는 것 중  작은 집합 순서 = Q < R < C

 

사소한 Tip

double이 float보다 무겁고 실시간으로 안돌아간다.

 

Field(체) = 수학에서는 사칙연산에 대해서 닫혀있는 집합

 

체의 성질

1. 결합법칙 : a + (b + c) = (a + b) + c, and a · (b · c) = (a · b) · c.

2. 교환법칙 :  a + b = b + a, and a · b = b · a.

3. 항등원(identity) : a + 0 = a and a · 1 = a.            !!덧셈에 대한 항등원 = 0, 곱셈에 대한 항등원 = 1

4. 역원(inverse) : a + (−a) = 0 and a · a−1 = 1.      !!덧셈에 대한 역원 = -a, 곱셈에 대한 역원 = 1/a

5. 분배법칙 :  a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

 

함수에 관련된 용어 정리

정의역의 모든 요소가 대응이 되어야한다.

대응한다

집합 X의 원소에 집합 Y의 원소를 짝지어 나타낸 것을
집합 X에서 집합 Y로의 대응이라고 한다.

여기서 X는 Domain(정의역)이 되고, Y는 Codomain(공역)이 된다.

 

단, 공역에 모든 요소에 대응 할 필요는 없다

 

아래의 사진을 통해 보자.

위 사진에서 X에 대응 된 Y의 1,3은 Range(치역)이 된다.

 

 

함수가 될 수 없는 경우는 2가지 경우가 있다.

1) 아래 그림1와 같이 X의 한 원소에 Y의 원소가 두 개 이상 대응할 때.

2) 아래 그림2와 같이 X의 원소 중에서 대응하지 않고 남아 있는 원소가 있을때

잘못 된 예시들.

 

벡터의 정의

(a, b) = R(실수)는 Field에 반드시 속해져 있는 대표적인 수 집합이다.

a와b를 스칼라 라고 한다.

 

스칼라 = Field에서 원소를 하나 가져온 것.

벡터 = 스칼라를 여러개 조합한 것.

벡터 연산

벡터 덧셈 연산자 (a, b) + (c,d) = (a+c, b+d)

벡터끼리의 곱셈 연산자 존재하지 않음.

벡터와 스칼라의 곱셈 연산자는 있다. k*(a,b) = (ka,kb)

 

벡터는 수 or 수집합?

수들이 모이면 수집합 R

벡터들이 모이면 벡터공간 Vector Space

 

벡터공간(Vector Space)의 성질

 체의 성질과 마찬가지로 여러 법칙이 성립된다..

1. 결합법칙 : u + (v + w) = (u + v) + w

2. 교환법칙 : u + v = v + u

3. 항등원 : v + 0 = v

4. 역원 : v + (−v) = 0.

5. 스칼라와 필드의 교환법칙 :  a(bv) = (ab)v

6. 스칼라의 항등원 :  1v = v

7. 스칼라와 벡터의 분배법칙 : a(u + v) = au + av

8. 스칼라와 필드의 분배법칙 : (a + b)v = av + bv

데카르트 곱

두 집합 A,B의 원소들로 만들어지는 모든 순서쌍 (a,b)들의 집합
 -  a∈A 이고 b∈B 인 모든 순서쌍 (a,b)들의 집합

카테시안 곱의 `표기`  :  A x B
  -  A x B = { (a,b) | a∈A and b∈B }

카테시안 곱의 `길이(크기)` : 가능한 모든 순서쌍의 개수       
  - 표기 : | A x B |
  - 성질 :  | A x B | = |A|·|B| : 두 집합 A,B 곱의 크기는 각각의 크기를 곱한 것과 같음

ex1)  A = {1,2}, B = {c,d} 이면,

       A x B = {(1,c),(1,d),(2,c),(2,d)}, | A x B | = 2·2 = 4
       B x A = {(c,1),(d,1),(c,2),(d,2)}, | A x B | = 2·2 = 4
       A x A = {(1,1),(2,1),(2,1),2,2)}, | A x A | = 2·2 = 4

ex2)  R^2 = R x R  = { (x,y) | x,y : 실수 }
       2차원 실수 공간 (2차원 실수 순서쌍 전체의 집합)
       '평면상의 모든 점들의 집합`, `모든 실수 순서쌍들의 집합` 등을 말함

       !!체집합인 실수집합을 스칼라로 하는 두개의 요소를 결합한 벡터공간. 

데카르트 좌표계

위에서 언급한 R^2는 아래의 좌표계가 된다.

직교 좌표계라고 부르며, 임이의 차원의 유클리드 공간을 나타내는 좌표계중 하나이다.