게임제작기법연구 10주차

복소수의 기본 성질을 정리하시오

우선 복소수란 실수와 허수를 이용해서 만든 수이며 a+bi 꼴로 표현됩니다.

 

i(Imaginary Unit)의 특성

 $i^2 = -1$

복소수의 덧셈 연산, 곱셈 연산, 각 연산의 항등원과 역원

- 덧셈에 대한 항등원 = 0, 곱셈에 대한 항등원 = 1

- 덧셈 연산 = (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

- 덧셈에 대한 역원은 -를 붙여주면 되므로 -a-bi

- 곱셈 연산 = (a+bi)*(c+di) = (ac-bd)+(ad+be)i

- 곱셈에 대한 역원은 허수의 영역이라 정의 될 수 없으며, 대신 켤레복소수를 이용해 역원을 정의할 수 있다.

- $z\cdot \frac{1}{z} = 1, \frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} = ?$

복소수와 켤레복소수를 이용하면  Norm($a^2+b^2$)이 됩니다.

 

교환법칙

- $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$

- $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$

분배법칙

- $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

- $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$

결합법칙

- $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = (z_1 \cdot z_2) + (z_1 \cdot z_3)$

켤레복소수가 곱셈의 역원이 되는 조건은? 이 때 곱셈의 역원은 무엇을 의미하는가?

우선 켤레복소수란 복소수의 대칭이며 허수부의 부호만 바꿔주는 것을 뜻합니다.

복소수 $z = a+bi$ 가 있다고 치면 켤레 복소수는 $\bar{z} = a-bi$ 가 되는 것을 뜻합니다.

또한 $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$ 가 됩니다.

그 이유는 $(a+bi) \cdot (a-bi) = a^2+abi-abi-bi^2 = a^2 - b^2\cdot -1 = a^2 + b^2 = Norm$ 이기 때문입니다.

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}$ 이므로.

만약 $(a^2+b^2) =1$ 이라고 가장한다면

$\frac{1}{z} = \bar{z}$ 이 성립합니다.

복소수 (cosθ, sinθ) 가 회전 행렬과 동일함을 증명하시오.

$(x,y)(cos \theta, sin \theta) = (xcos\theta-ysin\theta,xsin\theta+ycos\theta)$

$\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xcos\theta - ysin\theta \\ xsin\theta + ycos\theta \end{bmatrix}$

Norm이 1인 복소수 (cosα, sinα)와 (cosβ, sinβ)의 곱은 (cos(α+β), sin(α+β))와 동일함을 전개하시오.

$(cos\alpha, sin\alpha)(cos\beta, sin\beta)=(cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta, sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta)$

삼각함수의 합 공식으로 인해

$(cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta, sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta) = (cos(\alpha + \beta), sin(\alpha + \beta))$

 복소수 회전이 행렬과 동일함을 이용해, 복소수를 행렬로 표현하는 방법에 대해 기술하시오.

$cos\theta+sin\theta i =  (cos\theta, sin\theta) =
\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$ 이며

실수부 $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

허수부 $J = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 에서

 

$J^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$

 

허수가 $i^2 = -1$ 이였던 것 처럼 $J^2 = -I$ 가 증명됩니다.
그러므로 $cos\theta \cdot I + sin\theta \cdot J = (cos\theta, sin\theta)$ 로 표현 될 수 있습니다.

허수부를 나타내는 행렬 및 그 특징과 의미를 설명하시오.

$(\alpha, \beta) = \alpha + \beta i = \begin{bmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{bmatrix}$ 에서 

$J = \begin{bmatrix} 0 & - \beta \\ \beta & 0 \end{bmatrix}$ 이고 이것을 기하학적으로 보면 사분면 기준 1사분면에서 2사분면으로 이동하는 것을 볼 수 있습니다.

그러므로 우리는 $i =$ 90도 회전이라는 결론을 내릴 수 있습니다.

 지수함수(e^x), sinx, cosx 함수를 맥클로린 급수로 전개하시오. 

우선 맥클로린 급수란 테일러 급수에서 특별히 a = 0인 경우를 뜻하며

테일러 급수는 $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2...$ 입니다.

맥클로린 급수는 $f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3...$ 입니다.

또한 sin을 미분하면 cos이며, cos을 미분하면 -sin입니다.

그러므로

$e^x = 1+x+\frac{1}{2!}x^2+...$

$sinx = sin(0) + \frac{cos(0)}{1}x + \frac{-sin(0)}{2!}x^2 + \frac{-cos(0)}{3!}x^3... =  x-\frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - ...$

$cosx = 1 - \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{4!}x^4 - ...$

sinx + cosx의 맥클로린 급수 전개 결과와 지수함수 전개 결과가 같기 위한 조건은 무엇인지 생각하고, 이것이 오일러 공식임을 정리하시오.

$sinx+cosx = 1 + x - \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 - ...$

이것이 지수함수와 같은 전개를 하기 위해서는 부호가 2번마다 바뀌어 줘야 하기 때문에 허수를 사용합니다.

허수를 사용하면 $e^ix = 1 + xi - \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}x^3 i + ...$ 로 정리가 됩니다.

그러므로 $e^ix = cosx + isinx$ 로 정리가 됩니다.

오일러의 공식으로 유도된 값은 회전에 해당하는 복소수와 동일함을 이용해 e^iθ는 또다른 회전의 표현임을 정리하시오

$a^2+b^2=1$ 을 만족하는 복소수 $cos\theta + isin\theta = e^{i\theta}$ 임을 알 수 있습니다.

이 자체를 회전이라 표현 할 수 있습니다. 결론 $e^{\alpha i} = \alpha$ 만큼 회전

9번을 활용해 두 회전의 곱은 두 각의 합과 동일한 결과임을 정리하시오.

$e^{\alpha i} \cdot e^{\beta i} = e^{(\alpha + \beta)i}$

자연상수 e는 어떻게 얻어지는지 정리하시오.

자연상수 e란 자연의 연속 성장을 표현하기 위해 고안된 상수입니다.
베르누이에 의해 자연상수 e가 정의 됐으며 그 값은 아래와 같습니다.
$e = \lim\limits_{x \to ∞}   (1 + \frac {1}{x})^x = 2.71828182845904523536...$

지수함수를 미분하면 다시 지수함수가 나오는 원리를 정리하시오.

도함수의 정의를 이용해서 $f(x) = e^x$ 를 미분해봤습니다.

$f^{\prime}(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

              $= \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}$

              $= \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^x \cdot (e^h -1)}{h}$

              $= e^x \cdot \lim\limits_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}$

              $= e^x \cdot 1$

              $= e^x$

cosx를 미분하면 -sinx가 나오고 sinx를 미분하면 cosx가 나오는 이유를 정리하시오.

sin 미분

$f(x) = sin(x)$

$f^{\prime}(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h}$

              $= \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(x+h) - sin(x)}{h}$

 

$\because sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)$

 

              $= \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)}{h}$

              $= \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(x)(cos(h) -1) + cos(x)sin(h)}{h}$

              $= sin(x) \lim\limits_{h \to 0} \frac{(cos(h) -1)}{h} + cos(x) \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}$

 

$\because \lim\limits_{h \to 0} \frac{(cos(h) -1)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-sin(h)}{1} = 0$(로피탈의 정리)

 

$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} = 1$

 

$\therefore f^{\prime}(x) = cos(x)$

 

 

cos 미분

$f(x) = cos(x)$

$f^{\prime}(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h}$

              $= \lim\limits_{h \to 0} \frac{cos(x+h) - cos(x)}{h}$

 

$\because cos(x+h) = cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h)$

 

              $= \lim\limits_{h \to 0} \frac{cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h) - cos(x)}{h}$

              $= \lim\limits_{h \to 0} \frac{cos(x)(cos(h) -1) - sin(x)sin(h)}{h}$

              $= cos(x) \lim\limits_{h \to 0} \frac{(cos(h) -1)}{h} - sin(x) \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}$

 

$\because \lim\limits_{h \to 0} \frac{(cos(h) -1)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-sin(h)}{1} = 0$(로피탈의 정리)

 

$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} = 1$

 

$\therefore f^{\prime}(x) = -sin(x)$

 

 

 

블로깅 하면서 처음으로 Tex 문법을 활용해봤습니다. 생각보다 이해하기 쉽고 편리하게 정리돼있어서 링크 남깁니다.

 

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%84%ED%82%A4%EB%B0%B1%EA%B3%BC:TeX_%EB%AC%B8%EB%B2%95

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